Αρχεία: Tooltips

Using the Korteweg-de Vries-Burgers equation we will be presenting a brief but thorough introduction on the concept of dispersive shock waves. Dispersive shock waves are a phenomenon that occurs in nonlinear dispersive media, where traditional shock waves are modified by dispersive effects. Unlike classical shock waves that form sharp discontinuities when nonlinear steepening overcomes dissipation, dispersive shock waves develop into oscillatory structures. In dispersive media – where wave speed depends on wavelength or frequency – the dispersion relation prevents the formation of true discontinuities. Instead of a sharp shock front, these waves evolve into rapidly oscillating wave trains that connect two different uniform states, with oscillations that typically have decreasing amplitude away from the shock front and wavelengths much smaller than the overall system scale.

In nature, the vast majority of fluid flows are turbulent. Therefore, understanding and predicting turbulence and its temporal evolution is of great importance. In the context of dynamical systems, intermittency refers to the irregular alternation between phases of periodic behavior and chaotic dynamics, or between different forms of chaotic behavior. Pomeau and Manneville identified three types of intermittency, where a nearly periodic system exhibits irregularly spaced bursts of chaos [1]. These types – Type I, II, and III – are associated with the approach to a saddle–node bifurcation, a subcritical Hopf bifurcation, and an inverse period–doubling bifurcation, respectively. In this presentation, we begin with a brief introduction to turbulence, followed by a discussion of intermittency in turbulent flows. We then introduce simple mathematical models that capture aspects of intermittent behavior in turbulence. Finally, we explore more advanced approaches for characterizing intermittency in turbulent flows.

We address the existence of solitons and periodic traveling wave solutions in saturable Discrete NLS (dNLS) Equation with non-nearest-neighbor (NNN) interactions. Calculus of variations and Nehari manifolds are employed to establish the existence of discrete solitons. We prove the existence of periodic travelling waves studying the mixed-type functional differential equations using Palais-Smale conditions and variational methods.

This lecture introduces the fundamental concepts of the Hyperbolic Theory of Dynamical Systems, providing an accessible entry point for graduate students. We shall explore the core ideas of hyperbolicity, including stable and unstable manifolds, uniform expansion and contraction, and the study of hyperbolic systems. Through intuitive examples, such as Anosov diffeomorphisms, the Smale horseshoe and Plynkin attractors, we shall illustrate how hyperbolicity leads to chaotic yet structured behaviour. Emphasis will be placed on geometric intuition and generic properties of Dynamical Systems. No prior expertise in dynamics is assumed, hoping that this lecture will serve as a friendly introduction to a cornerstone of modern dynamical systems.

Στην εισαγωγική αυτή ομιλία θα προσπαθήσω να εξηγήσω θεμελιώδεις έννοιες του επιστημονικού κλάδου που ονομάζεται Μη Γραμμική Δυναμική και Χάος. με όσο το δυνατόν απλούστερο τρόπο. Οι έννοιες αυτές έχουν κατά βάση μαθηματικό περιεχόμενο, είναι όμως άρρηκτα συνδεδεμένες με φαινόμενα που συναντούμε σε πολλές επιστήμες. Για να γίνουν καλύτερα αντιληπτές, τις παρουσιάζω μέσω ενός αριθμού ερωτημάτων που απαιτώ από τους ακροατές να προσπαθήσουν να απαντήσουν κατά τη διάρκεια του Σχολείου. Μόνον έτσι θα μπορέσουν να κατανοήσουν και να εκτιμήσουν τη σημασία των εννοιών της δυναμικής και τη σχέση τους με ρεαλιστικά φαινόμενα όλων των Θετικών Επιστημών. Κατά τη διάρκεια του 31ου Σχολείου, θα έχουμε την ευκαιρία να τις αναλύσουμε περαιτέρω και να αντιληφθούμε την μεγάλη προσφορά των Μαθηματικών στην βαθύτερη κατανόηση της φύσης, της ζωής, αλλά και των ανθρώπινων σχέσεων που διέπουν τον κόσμο γύρω μας.

Δυναμικά ονομάζονται τα συστήματα που εξελίσσονται στο χρόνο και περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις ή απεικονίσεις. Η μελέτη αυτών των συστημάτων παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον αφού μας επιτρέπει να γνωρίσουμε τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος και μας δίνει την δυνατότητα πρόβλεψης. Ιδιαίτερα τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα αποτέλεσαν σημαντικό τομέα μελέτης αφού παρουσιάζουν ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά και φαινόμενα όπως διακλαδώσεις, χαοτική συμπεριφορά κ.α.
Τα δυναμικά συστήματα μπορούν να υλοποιηθούν με τη βοήθεια των ηλεκτρικών και ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Το γεγονός αυτό μας δίνει τη δυνατότητα πειραματικής επιβεβαίωσης των μαθηματικών μας αποτελεσμάτων αλλά και την αξιοποίηση τους σε εφαρμογές. Ο πρώτος που υλοποίησε μη γραμμικά δυναμικά συστήματα μέσω μη γραμμικών ηλεκτρικών κυκλωμάτων ήταν ο L. Chua ο οποίος έδειξε πειραματικά διάφορα φαινόμενα, όπως η χαοτική συμπεριφορά, και έβαλε τέλος στη συζήτηση που υπήρχε τότε, για το αν φαινόμενα όπως το χάος είναι μόνο μαθηματικές εφευρέσεις και κατασκευές! Στην παρούσα διάλεξη θα γίνει μια σύντομη παρουσίαση εννοιών των δυναμικών συστημάτων, των μη γραμμικών ηλεκτρικών και ηλεκτρονικών στοιχείων και θα παρουσιάσουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να υλοποιηθούν τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα τη βοήθεια μη γραμμικών ηλεκτρονικών στοιχείων και κυκλωμάτων.